Mantık bilimi, düşünmede ortaya çıkan çelişki ve paradokslardan kaçınmak, tartışmalarda üstün gelen taraf olmanın yöntemlerini geliştirmek isteğinden doğmuştur. Temel gerçeklerin akla dayalı araştırması olan felsefe bu anlamda mantıkla iç içedir.
Mantık bilimine gündelik ve teknik olarak iki tanım önerilebilir:
Gündelik: Doğru düşünmenin yöntemi veya doğru düşünmenin kurallarını konu edinen bilim.
Teknik: Çıkarımların geçerliliği ile önerme kümelerinin tutarlılığını denetleyen(ortaya koyan) yöntem veya geçerlilik ile tutarsızlığı belirleyen kuralları konu edinen bilim.
Muhakeme veya usavurma olarak da ifade edilen akıl yürütme(1), mantık biliminin çalışma sahasıdır ve öncül denilen bir veya daha çok doğru veya kabulden, sonuç denilen bir yargının elde edilme işlemidir. Buradaki doğru veya kabul olarak ifade edilen yargı(iddia yahut sav da denilebilir) da doğru veya yanlış bir düşünce olarak tanımlanabilir. Yargılar, “önerme” denilen bir sözle dile getirilir.
* Doğru akıl yürütme, öncüllerin doğru olması durumunda sonucunda doğru olmasıdır. Yani “doğru akıl yürütme”, “doğruya götüren” anlamındadır.
Mantığın temel iki görevi vardır:
- Doğru akıl yürütme yöntemlerini tespit etmek
- Akıl yürütmelerin bu yöntemlere uygunluğunu araştırmak
Çıkarım
Çıkarım, akıl yürütmeyi sağlayan önermelerden oluşan bir dile getirmedir; bir veya birden fazla önermenin(öncüller) bir sonuç önermesine, “o halde”, “dolayısıyla”, “öyleyse” gibi ifadelerle bağlanması formasyonuna sahip önerme dizileridir.
Üç tür çıkarım vardır; i) tümdengelimli(dedüktif), ii) tümevarımlı(indüktif), iii) heptengitmeli(abdüktif).
Tümdengelimli mantık içerisinde, bir çıkarımın, öncüllerinin doğru olması sonucu da zorunlu ve kesin olarak doğru kılıyorsa çıkarıma, geçerli denir. Bu özelliğe doğruluğu koruma özelliği adı verilir. Geçerli bir çıkarım doğru olan bir akıl yürütmeyi dile getirir; bu anlamda tümdengelimli çıkarımda sonuç, öncüllerde örtük olarak bulunmak zorundadır, yani sonuç öncüllerin ötesine geçen bir bilgi vermez.
Burada dikkat edilmesi gerekli nokta öncüllerin doğru olmasının çıkarımın yeterli olmasına tek başına yetmeyeceğidir. Mesela, “Çimen yeşildir. O halde, kar beyazdır.” çıkarımı geçerli değildir. Zira sonuç, öncülle mantıksal olarak birbirine bağlı değildir; çimenin yeşil olduğu ancak karın mavi olduğunu düşünmekte akla muhal bir taraf yoktur.
Sadece tek bir durumda çıkarımın geçerli olup olmadığından emin olunabilir, diğer durumların hepsi çıkarımın muhtevasına bağlıdır:
Tümevarımlı mantık içerisinde, bir çıkarımın öncül önermelerinin doğru olması sonuç önermesinin de doğru olma olasılığını artırıyor ise doğru bir tümevarım mantığına sahibiz demektir. Bu tür çıkarımlarda öncül önermelerinin sonucu destekleme derecesi tümevarımsal güç olarak adlandırılır. Belli bir örneklemden yola çıkarak genel hakkında bir sonuca ulaşabileceğimiz gibi, analoji yoluyla, şeyler arasındaki benzerliklerden ve ulaşılmak istenen bilgi bakımından ilgili olmalarından yola çıkarak bazı tümevarımlı sonuçlara varılabilir.
Güçlü bir tümevarım: Orçun yeni doğmuş bir bebektir. O halde, Orçun yarın maraton koşup birinci olamaz.
Zayıf bir tümevarım: Gördüğüm üç kuğu da beyazdır. O halde, tüm kuğular beyazdır.
İyi bir analoji örneği: Mars gezegenin özellikleri dünyanın özelliklerine benzerdir. Dünya insan yaşamı için uygundur. Dolayısıyla Mars gezegeninde yaşamamız da mümkündür.
Kötü bir analoji örneği: Maymunlar insanlara benzer. O halde maymunlar da futbol oynar.
Heptengitmeli mantık içerisinde, öncül önermelerinin tümünün doğru olması durumunu en iyi açıklayan önermeye sonuç önermesi denir. Çıkarımları heptengitmeli mantık bakımından değerlendirirken, sadece öncüllerin sonucun doğru olması olasılığını artırmasını değil, sonuç önermesinin öncüllerin doğru olmasını açıklayıcı gücü olmasını göz önünde bulundururuz.
Mesela Robinson Crusoe’nin adada kendi ayak izlerinden farklı ayak izlerine rastlamış olması onun, adada kendisinden başka insanlar da olduğunu düşünmesine yol açar. Ancak ayak izleri insanların adaya gelmesi dışında farklı şekillerde de oluşmuş olabilirdi. Yine de durumu en iyi açıklayan sonuç insanların adaya gelmiş olması olduğundan tercih edilen de odur.
* Tutarlılık, Bir grup önermenin tümünün aynı zamanda doğru olabilmesi bu önermeler grubunun tutarlı olması demektir.
Herhangi bir bilginin elde edilmesi için, bir önermenin doğruluğunun haklı gösterilmesi gerekir. Bu türden bir haklı gösterme başka gerekçelere dayanıyorsa ‘dolaylı’, dayanmıyorsa ‘dolaysız’dır. Mantık dolaylı türden bir haklı gösterme olarak addedilebilir(Dolaysız olanlara örnek olarak apriori bilgi veya gözlem verilebilir). Mantık, doğrudan doğruya çıkarım süreçleriyle ilgili değil, yalnızca çıkarımların geçerliliğiyle ilgilenir. Çıkarım sürecinden oluşan düşünme mantığın değil psikolojinin alanına girer.
Mantığın ikinci işlevi ise daha önceden de değinildiği gibi herhangi bir metni ya da söylemi oluşturan önermelerin birbiriyle uyumlu ve tutarlı olmalarını sağlamaktır.
Önermeler A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Bu halde n sayıda öncülü olan bir çıkarımı:
A1, …,A2 o halde B
biçiminde dile getirebiliriz. Burada A’lı ifadeler öncül önermeleri ya da kısaca öncüller, B ise sonuç önermesi, kısaca sonuçtur.
Çıkarımların geçerliliği yalnızca içlerinde geçen “bütün”, “ise”, “değil”, “veya” sözcükleri gibi ‘mantık değişmezleri’ olarak adlandırılan elemanlara dayanır. Bir çıkarımda geçen mantık değişmezleri çıkarımın mantıksal biçimini belirler. Çıkarımın geçerliliği yalnızca bu mantıksal biçime bağlı olduğundan dolayı, geçerliliğin biçimsel(formel) olduğu söylenir. Geçerlilikle ilgisinden dolayı da mantığın kendisine biçimsel mantık denir. Buna göre (biçimsel) mantık bilimini mantıksal değişmezlerin bilimi sayabiliriz.
Sembolleştirme
Bir dilin ifadeleri üç başlık altında ele alınır; i) ifadelerin yapısal özellikleri ve ifadelerin yapıları bakımından ilişkilerinin incelenmesi sentaks (dizim)(2), ii) ifadelerin anlam özellikleri ve ifadelerin anlamları bakımından ilişkilerinin incelenmesi semantik (anlambilim)(3) iii) ifadelerin kullanım özellikleri ve ifadelerin kullanım özellikleri bakımından ilişkilerinin incelenmesi olarak pragmatik.
Bir önermenin semantik statüsünün önermeler mantığı bakımından belirlenmesi, bu önermenin, totoloji mi, çelişki mi, yoksa olumsal önerme mi olduğunun ortaya konması demektir. Bir çıkarımın denetlenmesi ise, çıkarımın geçerli mi geçersiz mi olduğunun ortaya konması demektir.
Bu analizlerin yapılabilmesi için sembolleştirmeye ihtiyaç duyarız; günlük dildeki veya bilim dilindeki mantık değişmezlerinin dışında kalan ögelere türlerine göre sembol atamaya ‘sembolleştirme’ denir. Elde edilen sembolik çıkarıma verilen çıkarımın “sembolik karşılığı” diyoruz.
* Anlam bulanıklığı, bir ifadenin hangi varlıklara, hangi durumlarda uygulanacağının kesin olarak belirlenememesidir. “Uzun”, “ağır”, “geveze” gibi kelimelerin anlamı bulanıktır; 30 santimlik kalem uzun, aynı boydaki bir heykel kısadır.
Biçimsel diller, sadece sentaktik kurallarla oluşturulan dillerdir. Bu dilde semantik bulanıklardan uzaklaşılmak istenir. Yani kelimelerin anlamlarından bağımsız bir dil inşa edilmek istenir.
Basit bir sembolik çıkarım şu şekildedir:
p veya q; p değil ∴ q
Bu çıkarımın öncülleri, “p veya q” ve “p değil”, sonucu “q” dur; bir çıkarımın sembolleştirilmesi, öncüllerin, sonuç önermesine, ∴ sembolü ile bağlanmasıdır.
“Beş ile dördün toplamı dokuzdur.” ifadesinin sembolleştirilmiş hali “5 + 4 = 9” dur. Bu işleme sembolleştirme denir.
Sembolleştirme Aşamaları:
1. Sembolleştirme işleminde evvela çıkarımdaki önermelere hangi sembollerin atanacağına karar verilir.
* Sembolleştirme anahtarı, bir gündelik dil önermesindeki her bir farklı basit önermeyi farklı bir önerme değişkeni ile eşleştiren listeye denir.
2. Önermede geçen önerme eklemlerini, standart olarak kabul ettiğimiz eş anlamlılarıyla değiştiririz. Önermenin bu haline, “standart biçim” denir.
3. Sembolleştirmenin son adımında standart biçimdeki önermeye, ilk adımda karar verilen değişkenler, ilgili önermelerle yer değiştirilir.
Yorumlama
* Sembolik önermeyi yorumlama, önermenin belli bir doğruluk değeri taşımasını sağlayacak biçimde önermede geçen sembollere belli bir anlam verilmesi işlemidir.
Anlam, i) Sembolün kaplamı ya da kaplamsal anlamı olmalıdır.
ii) Bu kaplamsal anlam belli bir doğruluk değerinden ibarettir.
iii) Böylece, p1, …,pn gibi n tane önerme temsilcisine birer kaplamsal anlam verilmesine bu önerme temsilcilerinin bir değerlemesi denir.
* Böylece önerme yorumlaması, önermede geçen tüm önerme temsilcilerinin belli bir değerlendirmesinden başka bir şey değildir.
Örneğin, “p veya q” önermesi verildiğinde, p’ye doğru q’ya da yanlış anlamını veren bir değerleme bu önermenin bir yorumlamasını oluşturur. Böyle bir yorumlamada “p veya q” önermesi doğru değerini kazanır.
* Çıkarım Yorumlaması, buna göre öncüllerin ve sonucun yorumlanması gerekir.
(!) Buradaki kritik nokta, aynı sembolün, önerme ve çıkarımdaki tüm geçişlerine aynı kaplamsal anlamın verilmesinin gerekmesidir.
* Doğrusal eklemler, oluşturdukları bileşik önermenin doğruluk değeri sadece bileşenlerinin doğruluk değerine göre belirlenen eklemlerdir. Mesela, “Ali on yaşında ve Ahmet’te kırmızı ayakkabı giymiş.” bileşik önermesinin doğruluk değerini her iki önermenin doğruluk değeriyle belirleyebiliriz. Ancak doğrusal eklem olmayan “için” edatıyla kurulan, “Ali ödevini yapmadığı için okula gelmedi.” bileşik önermesinin doğruluk değerini “Ali’nin okula gelmemesi” ve “Ali’nin ödevini yapmaması”nın doğruluk değeriyle belirleyemeyiz. Zira bu durumda “Ali’nin ödevini yapmadığı için öğretmeninden çekinmesi” gibi ek bir bilgiye ihtiyaç duyarız.
Doğrusal olmayan eklemlerin bir önemli türü de kiplerdir (modaliteler). “Zorunludur ki A” zorunlu önermesiyle, “Olanaklıdır ki A” olumsal önermesinin doğruluk değeri A önermesine göre farklılık gösterir.
Bir dilde önerme eklemlerinin, önerme eklemi olamayacak şekilde kullanılması da mümkündür; “Ali ve Mehmet insandır.” cümlesi, “Ali insandır ve Mehmet insandır.” cümlesine denktir dolayısıyla buradaki “ve” bir önerme eklemidir. Ancak “Ali ve Mehmet kardeştir.” deki “ve” bir önerme eklemi değildir zira “Ali kardeştir ve Mehmet kardeştir.” ifadesinde anlam değişmektedir.
Bazen önerme eklemleri zamansal öncelik-sonralık da bildirebilmektedir. Bu durumlarda önerme eklemleri, önerme eklemi olmak ötesinde anlamlar kazanmış demektir.
* Model, bir önermeye doğru değerini veren yorumlamaya doğrulayıcı yorumlama yani model, yanlış değerini veren yorumlamaya da yanlışlayıcı yorumlama yani ters model denir.
Tutarlılık ve geçerlilik kavramları hakkında:
i) A1, …,A2 önermelerinden oluşan {A1, …,A2} kümesinin her ögesini doğru kılan bir yorumlamaya kümenin doğrulayıcı yorumlaması(Dipnot 1) denir.
ii) {A1, …,A2} kümesinin en az bir doğrulayıcı yorumlaması varsa bu kümeye tutarlı küme denir. Doğrulayıcı yorumlayıcısı olmayan kümeye de tutarsız küme denir.
iii) A1, …,A2 ∴ B (1) türünde bir çıkarım verildiğinde öncüllerin her birini doğru kılan bütün yorumlamalar, sonucu da doğru kılarsa, verilen çıkarımın geçerli olduğu söylenir. Bu türden bir çıkarımın geçerli olmasının gerekli ve yeterli koşulu {A1, …,A2 ∴ B-değil} (2)(Dipnot 2) önermeler kümesinin tutarsız olması, yani doğrulayıcı yorumlamasının olmamasıdır.
(?) 2'ye 1'in geçersiz kılıcı kümesi, 2'nin her doğrulayıcı yorumlamasına da 2'nin bir geçersiz kılıcı yorumlaması diyoruz. Ancak 2'nin doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
-> Böylece “p veya p değil” önermesi geçerli, “p veya q değil” önermesi tutarlı diyebiliriz.
(?) Tutarlılık bir önerme veya çıkarımın en az bir doğru yorumlaması olması durumudur. Bu yüzden her geçerli önerme veya çıkarım tutarlı, ancak her tutarlı önerme veya çıkarım geçerli değildir.
Örnek
Tüm önermelerin doğruluk değerini aldığı işaretli satırlar da sonuç önermesi de doğruluk değeri aldığından çıkarım geçerlidir. Tüm önermelerin doğruluk değerini aldığı en az bir satır olduğundan çıkarım tutarlıdır.
Günlük Dil Çıkarımlarının Geçersizliği
Sonucu yanlış, öncülleri doğru olan çıkarım dışındaki(düpedüz geçersiz) diğer hiçbir çıkarımın geçerliliği hakkında öncülleri ve sonucunun doğruluk değerlerine bakarak bir sonuca varamıyoruz.
Geçerli - Geçersiz
D ∴ D
Kar beyazdır. ∴ Kar beyazdır. <> Kar beyazdır. ∴ Kömür siyahtır.
Y ∴ D
Kar beyazdır ve kömür sarıdır. ∴ Kar beyazdır. <> Kömür sarıdır. ∴ Kar beyazdır.
Y ∴ Y
Kömür sarıdır. ∴ Kömür sarıdır.(Dipnot 3) <> Kömür sarıdır. ∴ Kar yeşildir.
Görüleceği üzere günlük dil yargılarının sadece sonuç ve öncüllerinin doğruluk değerlerinden hareketle geçerli oldukları saptanamıyor. O yüzden geçerlilik tanımı sembolleştirme kavramını da içermek durumunda kalıyor:
* Geçerlilik, bir günlük dil çıkarımının geçerli olması, en az bir sembolik karşılığının(yani sembolleştirme sonucunda elde edilen çıkarımın) geçerli olması demektir.
Mantık Sistemleri
• Belli bir takım mantık değişmezlerinin(önerme eklemleri) anlamı gereği geçerli olan çıkarımları ve önermeleri denetlemeye yarayan kurallar sistemine mantık sistemi(mantık dizgesi) denir.
(?) Sembolik mantığın en önemli işlevi geçerlilik ile tutarsızlıkların denetlenmesidir.
-> Mesela “değil”, “ise”, “ve”, “veya” gibi mantık değişmezlerinin anlamı gereği geçerli olan çıkarımları denetleyen mantık sistemine önerme eklemleri mantığı veya kısaca önermeler mantığı denir. Önermeler mantığının mantıksal değişmezlerine niceleme işaretleri denilen “her”(veya “bütün”) ile “bazı” sözcüklerini katarsak niceleme mantığı denilen bir mantık sistemi elde edilir.
(?) Gerek önermeler mantığı gerekse niceleme mantığının iki değerli olduğunu kabul ediyoruz. İki sistem bir arada temel mantık olarak adlandırılır. Temel mantığın ötesinde değişik sistemler vardır. Bu sistemler ya çok değerli mantık sistemleridir, ya da temel mantığın iki değerliliğini bozmadan yeni mantık değişmezlerinin katılmasıyla oluşan sistemlerdir.
-> Temel mantığa “özdeş” mantık değişmezini katmakla elde edilen sisteme özdeşlik mantığı, “var” mantık değişmezini katmakla elde edilen sisteme varlık mantığı, “zorunlu” ve “mümkün” mantık değişmezini katmakla elde edilen sisteme kiplik mantığı denir.
1. Önermeler Mantığı
• İki değerli önermeler mantığını, yalnızca önerme eklemlerinin anlamı gereği geçerli olan çıkarım ve önermeleri denetleyen kural sistemi olarak tanımlıyoruz.
1.1. Önerme Eklemleri
• ‘~’ : Değilleme eklemi olarak isimlendirilen önerme eklemi
-> Misalen, (1) ~A önermesi bir bileşik önermedir ve “değilleme önermesi” veya “değilleme” olarak adlandırılır. Burada A’ya da değillemenin bileşeni denir.
? ~A bileşik önermesi, A önermesinin bir fonksiyonudur. Bu nedenle “~” ekleminin, doğruluk fonksiyonu durumunda bir önerme eklemi olduğu söylenir. Gerek A’nın aldığı değer gerek ~A’nın aldığı değer, D ve Y değerlerinden biri olduğundan, “~” eklemine iki değerli doğruluk fonksiyonu denir. “~” nin aldığı doğruluk değerleri, “~” ekleminin doğruluk çizelgesi ile gösterilir:
A | ~A
— — —
D | Y
Y | D
? “~” eklemine, bir tek önermeden birleşik önerme oluşturduğundan birlik önerme eklemi denir. Birden çok önermeden birleşik önerme oluşturan ekleme çoklu önerme eklemi, iki önermeden birleşik önerme eklemi oluşturanlara ikili önerme eklemi denir.
• ∧ : “ve” anlamına gelen işarettir, tümel-evetleme eklemi denilen önerme eklemini dile getirir.
-> A ∧ B önermesine, tümel evetleme önermesi ya da tümel evetleme denir.
• ∨ : “veya” anlamına gelen işarettir, tikel-evetleme eklemi denilen önerme eklemini dile getirir.
• ↓ : “ya…ya” anlamına gelen işarettir, ayrılık eklemi olarak adlandırılır.
• → : “-se”, “-sa” anlamına gelen işarettir ve koşul eklemi olarak adlandırılır(5). A → B önermesinde A’ya koşullunun ön-bileşen’i, B’ye de ard-bileşeni denir.
• ← : evrik koşul eklemi
• ↔ : karşılıklı-koşul eklemi
-> Ahmet ancak ve ancak çalışırsa sınıfı geçer. (p → q) ∧ ( p ← q)
-> Eklemler arası öncelik sırası : ~, ∧, ∨, →, ↔
1.2. Bileşik Önermeler, Ana Eklem ve Ana Bileşenler
? “~, ∧, ∨, →, ↔” eklemleri sembolik dilin temel eklemleridir. Diğer eklemler bu beş eklemden türetilebilir.
? Önerme temsilcilerine atomsal önermeler denir. Her atomsal önerme bir önermedir. Aşağıdakilerin hepsi önermedir:
i) p
ii) ~p
iii) a ↔ b
• Beş temel eklem yardımıyla oluşan her bileşik önerme şu beş biçimden birindedir:
i) ~A
ii) A1 ∧ ….. ∧ An
iii) A2 ∨ ….. ∨ An
iv) A → B
v) A ↔ B
* A’lar da kendi içerisinde bileşik önermeleri ihtiva edebilirler.
? Önermeler ana bileşenlerden(6), o ana bileşenlerin ana bileşenlerinden(7) … meydana gelir. Ana bileşenleri bağlayan ilk eklemlere ana eklemler denir. Bu eklemler dışında kalan eklemlere ana eklem olmayan eklem geçişleri denir.
? Önermelerde karışıklığı önlemek amacıyla parantezler kullanırız. Parantezsiz kullanımda mümkündür;
-> ~[p ∨ (~q ↔ r)] : ~∨p↔~qr
Parantezsiz yazılış biçiminde genellikle “~” yerine “N”, “∧” yerine “K”, “∨” yerine “A”, “→” yerine “C”, “↔” yerine “E” yazılır:
-> ~[p ∨ (~q ↔ r)] : ~∨p↔~qr : NApENqr
1.3. Doğruluk Değeri Hesaplaması
• Bir önerme temsilcisinin doğruluk değeri d(p1) olarak gösterilebilir. Böylece p → q (A) türünden bir önermenin değerlemesi, p: d(p) → q: d(q) şeklinde olur. p’ye D, q’ya da y değerini verirsek değerleme, p: D → q: Y şeklinde olur.
? A gibi bir önermede geçen bütün önerme temsilcilerinin belli bir değerlemesi verildiğinde, önermenin tek bir doğruluk değeri olur. Bunu saptama işlemine doğruluk değeri hesaplaması diyoruz.
1.4. Önerme Eklemlerinin Sistematik Sınıflandırılması
- n tane önerme ekleminden bileşik bir önerme oluşturan bir önerme eklemine n-li önerme eklemi denir. e bir n-li önerme eklemi ise, eklemi en öne yazarak ep1,….,p2 biçiminde bir bileşik önerme kurabiliriz. e n-li ekleminin doğruluk çizelgesi, mezkur önermenin doğruluk çizelgesi demektir.
? n sayıda önerme temsilcisinden oluşan bir önermede, önerme temsilcilerinin 2^n tane değerlemesi vardır. n sayıda önerme temsilcisinden oluşan önermenin 2^(2^n) tane değerlemesi vardır bu n=2 için, 16 tane 2-li eklem, n=1 için, 4 tane 1-li eklem hatta n=0 için 2 tane 0-lı eklem anlamına gelir.
• 0-lı önerme ekleme, sıfır sayıda önermeden, yani tek başına önerme oluşturan eklem denir. Bunlardan bir tek başına doğru olan ve “T” işaretiyle gösterilen önermedir. Diğeri hep yanlış olan ters-T ile gösterilen önermedir.
• Sayısı 4 olan birli eklemleri sırasıyla e11, e12, e13, e14 biçiminde gösterirsek:
biçiminde bir doğruluk çizelgesi elde edilir. Sağ taraftaki her sütun bir birli eklemin doğruluk çizelgesini oluşturmaya yarar. Sırasıyla:
0) Birli önerme eklemi -> e¹p
i) 1. sütun birli totoloji eklemi -> T¹p
ii) 2. sütun birli evetleme eklemi -> E¹p
iii) 3. sütun birli değilleme eklemi -> D¹p
iv) 4. sütuna da birli çelişiklik eklemi diyoruz. -> ters-T¹p
? Bu eklemleri şöyle tanımlıyoruz(≡ : tanımlama işareti olarak kullandığımız eş değerlik işareti) : T¹p ≡ T, E¹p ≡ p, D¹p ≡ ~p, ters-T¹p ≡ ters-T
? Aynı işlemleri sayısı 16 olan ikili eklemler için de yapmak mümkündür.
1.5. Karma Doğruluk Çizelgesi Yöntemi
• Bir önermenin geçerli olması bu önermenin içinde geçen bütün önerme temsilcilerinin tüm değerlemelerinde (sonuç değeri olarak)D değerini alması demektir. Önermeler mantığında geçerli olan önermelere totoloji de denir. Geçersiz önermeyse en az bir değerleme de Y değerini alır.
* Totoloji, tüm doğruluk değerlemelerinde doğru olan önermeye denir.
* Olumsal önerme, en az bir doğruluk değerlemesinde doğru, en az bir doğruluk değerlemesinde yanlış değerini alan bir önermedir
* Tutarlı önerme, en az bir doğruluk değerlemesinde doğru değerini alan önermedir.
Bir önerme kümesinin tutarlı olması ise en az bir değerlemede kümenin bütün üyelerinin D değerini alması demektir. Tutarsız kümenin tüm ögeleri hiç bir değerlemede bir arada D değerini alamazlar(Tutarsız önermelere çelişme de denir).
! Bir çıkarımın geçerli olması çıkarımın geçersiz kılıcı kümesinin tutarsız olmasıyla tanımlanır.
• Önermeler mantığında herhangi bir önermenin veya çıkarımın geçerli veya geçersiz, bir önerme kümesinin de tutarlı veya tutarsız olduğunu ortaya koyan karar-verme(ve dolayısıyla denetleme) yöntemleri vardır. En basit karar verme yöntemi karma doğruluk çizelgesi yöntemidir:
Bu yönteme göre, sınanan önerme veya önermelerin tüm bileşenlerinin(en basitinden en karmaşığına kadar) doğruluk çizelgeleri bir tek karma çizelge biçiminde kurulur. En son verilen önermenin altındaki sütun yalnız D’den kurulu ise önermenin geçerli olduğu, yoksa geçersiz olduğu ortaya çıkar. Verilen önerme kümesinin tüm öğelerinin bir arada D değerini aldığı bir değerleme varsa kümenin tutarlı olduğu yoksa tutarsız olduğu anlaşılır. Örneğin:
? (~p → q) → (p ∧ q) önermesinin geçersiz olup olmadığına bakalım:
Son sütunda Y değeri bulunduğundan önerme geçersizdir.
? {p ∧ q, ~p ∨ q, p ∨ ~q} önerme kümesinin tutarlı olup olmadığına bakalım:
Görüldüğü gibi karma doğruluk çizelgesinin birinci satırında kümenin öğeleri olan üç önermenin altında hep D değeri geçmektedir. Dolayısıyla bu önerme kümesi tutarlıdır.
? {p ∧ q, ~p ∨ ~q} önerme kümesinin tutarsız olup olmadığına bakalım:
Hiçbir satırda kümenin önermeleri olan öğelerin altında hep D değeri olmadığından dolayı bu önerme kümesi tutarsızdır.
? Çıkarımlar için bakacak olursak,
{p ∨ q, p → r, q → r, ∴ r}
çıkarımının geçersiz kılıcı kümesinin
{p ∨ q, p → r, q → r, ∴ ~r}
karma doğruluk çizelgesini kurarız:
Dikkat edilirse bu çizelgenin hiçbir satırında küme öğelerinin tamamının altında D işareti geçmiyor. Dolayısıyla bu çıkarım geçersizdir yani asıl çıkarımımız geçerlidir.
? İki önermenin eşdeğer olması (A ≡ B), A ↔ B olup olmamasıyla ilgilidir. Buna göre A ile B’nin eşdeğer olup olmadığı A ile B’nin karma doğruluk çizelgesiyle karara bağlanabileceği gibi, A↔B’nin çizelgesiyle de karara bağlanabilir.
• A1,…,An,B gibi önermeler verildiğinde, eğer A1,…,An’nin herbirini doğru kılan her değerleme B’yi de doğru kılarsa “A1,…,An önermeleri B’yi içeriyor” denir.
A1,…,An ⊨ B
biçiminde yazılır. Hem A ⊨ B hem B ⊨ A olursa, o zaman A ile B eşdeğer olur yani A ≡ B elde edilir. A ⊨ B’nin gerekli ve yeterli koşulu A → B olmasıdır.
1.6. Önermeler Mantığı Yasaları
• Geleneksel klasik mantıkta özdeşlik ilkesi, çelişmezlik ilkesi ve üçüncü halin olmazlığı ilkesi olmak üzere üç temel mantık yasası kabul edilirdi. Modern mantıkta ise, bu üç ilkenin, sayısı pek çok, hatta sonsuz olan, çeşitli mantık yasaları arasında yer aldığını göreceğiz. Klasik mantık yasaları aşağıdaki önermelerin totoloji olmasıyla dile getirilir:
i) Özdeşlik ilkesi : p → p ( Sokrates insan ise Sokrates insandır.)
ii) Çelişmezlik ilkesi : ~(p ∧ ~p) ( Sokrates hem insan hem insan olmayan değildir.)
iii) Üçüncü halin imkasızlığı ilkesi : p ∨ ~p ( Sokrates insandır veya Sokrates insan değildir.)
? Önermeler mantığının totoloji biçimindeki yasaları ana eklemlerine göre şu dört türe ayrılırlar:
- Değillemeler ( ana eklemi “~” olan yasalar )
- Tikel evetlemeler ( ana eklemi “∨” olan yasalar )
- Koşullular ( ana eklemi “→” olan yasalar )
- Karşılıklı koşullular ( ana eklemi “↔” olan yasalar )
Tümel evetlemeli (yani her bir önerme değişmezi birbirine “∧” ile bağlı olanlar) yasalar ise pratikte hiç kullanılmaz zira burada her bir önerme değişmezi birer yasa konumundadır, birer yasaya indirgenebilir.
? e bir ikili önerme eklemi olduğunda, e eklemine,
i) p e p ≡ p olursa denkgüçlü,
ii) p e q ≡ q e p olursa yer değiştirici,
iii) (p e q) e r ≡ p olursa ortaklaştırıcı denir.
? A önermesi “∨”, “∧”, “~” eklemleriyle p1,…,pn önerme temsilcilerinden oluşmuş bir önerme olduğunda , A’nın değillemesi, A’nın içinde p1,…,pn yerine sırasıyla ~p1,…,~pn konulması ve “∧” ile “∨” eklem değiş tokuşu sonucunda elde edilen önermeyle eşdeğerdir.
1.7. Türetim Yasaları
- Bu yasalar, önerme temsilcileri yerine A, B, C gibi önerme değişkenleriyle dile getirilmiştir. İçinde A, B, C gibi önerme değişkenleri bulunan bir tümceye önerme kalıbı denir. A, B, C harflerinin kendileri de atomsal önerme kalıplarıdır. Bileşik önerme kalıpları önerme değişkenleri ile önerme eklemlerinden oluşurlar. Önerme kalıpları, incelenen mantık sisteminin sembolik diline değil, bu sembolik dilden söz etmek için kullanılan bir sözeden dil(meta dil)’e ait bir sözdür. Bir önerme kalıbında geçen A,B,C… gibi önerme değişkenleri yerine bunların değeri olan sembolik dile ait önermeler koyarak, önerme kalıbı, sembolik dile ait belli bir önermeye dönüşür. Böyle bir önermeye, verilen önerme kalıbının bir örnekleme’si denir. Örneğin, A ∧ B önerme kalıbında, A yerine, p → q, B yerine de, ~q koyarsak önerme kalıbı (p → q) ∧ ~q önermesine dönüşür. Bir önerme kalıbının tüm örneklemeleri geçerli önermeler ise önerme kalıbına geçerli önerme kalıbı denir. Bir önerme kalıbının tüm örneklemleri geçerli önermeler ise önerme kalıbına geçerli önerme kalıbı denir. Başlıca türetim yasaları şunlardır:
1.7.1 Önerme Eklemlerinin İndirgenmesi
“~”, “∧”, “∨”, “→”, “↔” eklemlerini bunlardan sadece ikisini kullanarak tanımlamak mümkündür. Bu amaçla seçilecek iki eklemden biri muhakkak “~” olmak zorundayken, diğer eklem sadece “↔” eklemi olamaz.
1.8. Çözümleyici Çizelge Yöntemi
Karma doğruluk çizelgesi yöntemi, önerme temsilcilerinin sayısının artmasıyla son derece güçleşir. Ayrıca bu yöntem iki ve üç değerli önermeler mantığında kullanılabilmektedir. Çözümleyici çizelge yöntemi en etkin ve kolay denetleme ve karar-verme yöntemidir.
Çözümleyici çizelgenin ana işlevi, verilen bir veya daha çok sayıda önermenin tutarlı olup olmadığını ortaya koymaktır. Bu amaçla ilk olarak bileşik önermenin temel bileşenleri bulunur:
Bileşik önermesinin temel bileşenleri ‘p’, ‘~p’, ‘~q’, ‘r’ dir.
Eğer önerme, bir önerme değişkeni ise, çözümleyici çizelgesi basitçe aşağıdaki gibidir:
1. A
Çözümleyici çizelgede -kök hariç- tüm önermeler aşağıdaki biçimde yazılmalıdır:
n. A (k)
n: kökten itibaren sayıldığında A önermesinin kaçıncı önerme olduğunu belirtir.
k: A önermesinin hangi noktadaki önermeye kural uygulayarak elde edildiğini gösterir.
1.8.1. Tümel Evetlemenin Çözümlemesi
Tümel evetleme olarak tüm eklem değişkenleri ‘~’ ve ‘∧’ eklemlerinden oluşan(önermedeki her değişkenin D değerini alması gerektiğinden tümel denir), başlangıç önermesi(B.Ö.) ve onların çözümlenerek ortaya çıkan temel bileşenlerini içeren çözümleme:
Bir önerme kümesinin çözümlemesi:
Bir tümel evetlemeli önermenin çözümleyici çizelgesinde alt alta geçen önermeler arasında A ile ~A biçimde bir çift geçerse, alt alta geçen önermeler dizisinin bütün ögelerinin D değerini alması imkansız olur. Nitekim A ile ~A’dan birisinin muhakkak Y değerini alması gerekir. Bu durumdaki önerme dizisine çelişmeli önerme diyeceğiz. Böyle bir dizinin altına çelişmeli olduğunu belirtmek amacıyla “X” işaretini koyacağız.
Bu tür çözümleyici çizelgelerin doğruluk değeri, her temel bileşene ‘D’ değeri alacak biçimde bir doğruluk değeri atamakla hesaplanır. Mesela ‘A’ için ‘D’ değeri atanırken, ‘~A’ için ‘Y’ değeri atanır.
Not: Sembolik önermeler mantığında her sembolik önermenin bir tek biçimi(tekbiçimlilik) ve bileşik önerme ise, bir tek ana eklemi vardır.
Dal kapanmış(bir dalda birbirinin değili iki önerme ortaya çıkması) ise yahut çözümleyici çizelge kurallarından hiçbir bileşik önerme kalmamış ise, o dal tamamlanmış bir daldır. Tüm dallar tamamlandığında çizelge de tamamlanmıştır. Çizelge tamamlandığında, tüm dallar kapanır ise, çizelge kapalıdır.
Çözümleyici çizelgesini yaparak, bir önermenin bir doğruluk değerlemesindeki doğruluk değerini hesaplayabiliriz. Çizelge yöntemini uygulayarak ilerleyerek, dallarda ortaya çıkan önerme değişkenlerine ya da değillemelerine, belirlenden doğruluk değerlemesini atadığımızda o dalda ki tüm önerme değişkenleri D değerini alıyorsa, o dal doğrudur denir ve önermenin verilen doğruluk değerlemesinde doğru olduğu sonucuna varılır. Dal içerisinde tek bir Y değeri varsa o dal yanlıştır sonucuna varılır ve o dal üzerinden devam edilmez. Önermenin verilen doğruluk değerlemesinde doğru olması için tek bir dalın doğru olması yeterlidir.
Bu önerme bu doğruluk değerlemesinde doğrudur.
1.8.2. Tikel Evetlemenin Çözüm Kuralı
Burada ise her bir değişkenin altına bir ok geçer ve hepsini ayrı yollar olarak ele alırız. Sonrasında ok çektiğimiz değişken için, o yola kendisini ve bileşik önermeyi virgüllerle yazar ve kendisine ‘D’ doğruluk değerini alacağı doğruluk değerini atarız. Diğer değişkenlere istediğimiz türden bir doğruluk değeri atayabiliriz.
Tikel ve tümel evetlemeden oluşan bir önerme:
Önerme kümesi örneği olarak:
Daha başka bir örnek olarak:
Ancak burada tümel evetleme olan satırı tikel evetlemeden önce çözersek daha kısa olan bir yol elde ederiz ve kısa olan yollar her zaman tercih edilirdir:
Öncelik Kuralı : Aynı yol üzerinde hem tümel-evetleme hem tikel-evetleme bulunuyorsa, tümel olan önce çözümlenmelidir.
Hiç bir yolu açık olmayan bir çözümleyici çizelgesi kapalı, en az bir yolu açık olana açık denir. Kapalı çözümleyici çizelgesi olan bir önerme veya önerme kümesinin hiçbir doğrulayıcı yorumlaması yoktur.
1.8.2. Tümel-Evetlemenin Değillemesi ve Tikel-Evetlemenin Değillemesinin Çözüm Kuralları
Tümel-evetleme ve tikel-evetlemenin çözümleme kurallarına temel çözümleme kuralları diyoruz. Bu iki kurala dayanarak öbür türden olan önermelerin çözümleme kuralları türetilebilir.
1.4.6. Çözümleyici Çizelge ile Geçerlilik, Tutarlılık, Eşdeğerlik ve İçerme’yi Denetleme
Çözümleyici çizelge, önermeler mantığında bir denetleme yöntemi, hatta bir karar-verme yöntemidir. Bu yönteme dayanarak herhangi bir önerme, önerme kümesi, eşdeğerlik veya içermenin geçerli, tutarlı veya doğru olup olmadığını saptayabiliriz.
i) A gibi bir önermenin geçerli olup olmadığını saptamak için ~A önermesinin çözümleyici çizelgesi kurulur. Bu çizelge kapalı ise çizelgenin başlangıç önermesinin doğrulayıcı yorumlaması olmaz. Dolayısıyla başlangıç önermesi olan ~A önermesi tutarsız olur. O zaman da A önermesinin kendisi geçerli olur. Eğer çizelge açık ise ~A’nın doğrulayıcı yorumlaması olup ~A tutarlı olur. O zaman da A’nın kendisi geçersiz olur. ~A’nın doğrulayıcı yorumlaması A’nın yanlışlayıcı yorumlaması olur.
ii) {A1, …,An} gibi bir önerme kümesinin tutarlı olup olmadığını saptamak için bu kümenin çözümleyici çizelgesini kurarız. Çizelge kapalı ise A1,…,An başlangıç önermelerinin (ortak) doğrulayıcı yorumlaması olmayıp küme tutarsız olur.
1.4.7. Çözümleyici Çizelge ile Doğruluk Değeri Hesaplaması
i) Verilen önermenin doğruluk çizelgesini kurarız.
ii) Çizelgenin açık veya kapalı olduğuna bakarız. Eğer çizelge kapalı ise başlangıç önermesi tutarsız olup tüm değerlemelerde Y değerini alır. Dolayısıyla çizelge kapalı ise önermenin doğruluk değeri Y olur.
iii) Çizelgede açık yol varsa, açık yollardan birini seçeriz. Seçilen açık yolun temel önermelerini saptarız.
iv) Saptanan temel önermelerin verilen değerlemedeki doğruluk değerlerini ortaya koyarız.
v) Saptanan temel önermelerin tümü D değerini almışsa seçilen açık yol doğru olur. O zaman da çizelgenin kendisi de doğru olup verilen önerme D değerini alır.
vi) Saptanan temel önermelerin en az biri Y değerini almışsa, seçilen yol yanlış olur. O zaman diğer açık yolların doğruluk değerini de araştırmamız gerekir. Eğer doğru olan bir açık yol varsa önerme D değerini alır. Eğer tüm açık yollar yanlış ise, önerme Y değerini alır.
Görüldüğü gibi iki açık yol var:
Bu çizelgenin:
değerlemelerine göre doğruluk değerini hesaplarsak her iki yolda da Y değerini aldığını görürüz.
Çözümleyici Çizelge ile Bir Önerme için Doğrulayıcı Yorumlama Oluşturulması
Çözümleyici çizelge yöntemi ile herhangi bir sembolik önerme için doğrulayıcı yorumlama olup olmadığını denetleyebiliriz. Bir önermenin çözümleyici çizelgesi tamamlandığında, kapanmadan kalan her dal o önerme için bir doğrulayıcı yorumlama sağlar. Doğrulayıcı yorumlama şu şekilde oluşturulur:
a. Açık kalan dalda bir önerme değişkeni değillemesiz olarak geçiyorsa, o önerme değişkenine D değeri verilir(değillemeli olarak geçiyorsa Y değeri verilir).
b. Bir dalda önermede olduğu halde, ne değillemeli ne de değillemesiz geçen bir değişken olduğunda ona istediğimiz değeri atarız. Bu sayede iki tane ayrı doğru yorumlayıcı elde ederiz.
önermesinin çizelgesinin
bu olduğunu görmüştük.
Bu önermenin çizelgesinde en az bir açık dal olduğundan bu sembolik önermenin doğrulayıcı yorumlaması vardır. Yani bu sembolik önerme tutarlıdır.
En soldaki açık dala göre bir doğrulayıcı yorumlama oluşturulduğunda, önerme değişkeni ~p olduğundan p: Y doğruluk değerini verdiğimizde dört tane doğrulayıcı yorumlamaya ulaşırız:
Not: Bir önermenin değilinin çözümleyici çizelgesi kapanır(tüm dallar kapalı) ise, önerme totolojidir.
Çözümleyici çizelgeyi oluştururken iki önemli kural vardır:
- Çatal açmamızı gerektiren kuralların, alt alta yazmamızı gerektiren kurallara önceliği vardır.
- Çözümleyici çizelge yöntemi ile ~A önermesinin çizelgesini oluşturarak A önermesinin totoloji olduğunu göstermeye çalışırken, alt alta yazma gerektiren kuralların çatal açma gerektiren kurallara önceliği vardır.
Bunun sebebi doğrulayıcı ya da yanlışlayıcı yorumlama ararken, açık bir dal elde etmek istediğimizden olabildiğince fazla sayıda dal üretmeye çalışırız. Totoloji göstermeye çalıştığımızda ise tüm dalları kapatmaya çalıştığımızdan olabildiğince az dal elde etmeye çalışırız.
Çözümleyici Çizelge ile Çıkarımların Denetlenmesi
Bir çıkarımın geçerli olmasının, tüm öncüllerin doğru olması halinde sonucun yanlış olamaması olduğu işlenmişti. Bu tanımı daha da genişleterek, bir çıkarımın geçerli olmasını, çıkarımın öncüllerinin sonucun değillemesi ile birlikte tutarsız demek olduğu, bir çıkarımın geçersiz olmasının da çıkarımın öncüllerinin sonucun değillemesi ile birlikte tutarlı olması demek olduğu haline getirebiliriz.
Bu tanıma göre, öncülleri ve sonucun değillemesini çözümleyici çizelge yöntemine tabi tutarız ve tek bir açık yol bulmamız halinde çıkarımın geçersiz olduğu sonucuna, çabuk ve zahmetsiz bir şekilde ulaşabiliriz.
Çözümleyici çizelge ile bir grup önermenin birlikte tutarlı olduğunu gösterirken çatal açma kurallarının, birlikte tutarsız olduğunu gösterirken de alt alta yazma kurallarının önceliği vardır; yani çıkarımın geçerliliği denetlenirken alt alta yazmanın önceliği vardır.
Niceleme Mantığı
Niceleme mantığında iki niceleyeci temel olarak kabul edilir: “Her” kelimesiyle ifade edilen tümel-niceleyici ve “bazı” kelimesiyle ifade edilen tikel-niceleyeci. İçinde bunları yahut bu ifadelerin eşanlamlılarını barındıran önermeler “nicelemeli önermeler”dir.
Tümel niceleyicinin eşanlamlıları:
“Her insan ölümlüdür.”
- Tüm insanlar ölümlüdür.
- Bütün insanlar ölümlüdür.
- İnsan ölümlüdür. (niceleyici olmadan tümel niceleme)
- Bir canlı insan ise o ölümlüdür.
Tikel niceleyicinin eşanlamlıları:
“Bazı insanlar filozoftur.”
- Kimi insanlar filozoftur.
- En az bir insan filozoftur.
- Bir filozof, “İnsan her şeyin ölçüsüdür” demiş.
Not: “Bir” niceleyicisi duruma göre tikel veya tümel niceleyici olabilir.
Niceleyici Önermelerin Değillemesi
“Her insan filozoftur”(1) önermesinin değillemesi, “Bazı insanlar filozoftur”(2) önermesidir; “Hiçbir insan filozof değildir”(3) önermesi değil. Zira hem 1 önermesi hem 3 önermesi aynı anda yanlıştır, ancak hem önermenin kendisi hem de önermenin değili aynı doğruluk değerine sahip olamazlar.
Tikel niceleyici önermeler için de, “Bazı F G dir” önermesinin değili, “Hiçbir F G değildir” önermesidir; “Bazı F G değildir” önermesi değil.
Nicelemeli Çıkarımlar ve Önermeler Mantığı
En az bir nicelemeli önerme içeren çıkarımlara “nicelemeli çıkarım” diyelim.
(1) Her insan ölümlüdür.
Sokrates bir insandır.
∴ Sokrates ölümlüdür.
Bu nicelemeli çıkarımı, önermeler mantığı dilinde sadece
(2) p, q ∴ r
şeklinde sembolleştirilebildiği için ve bu sembolleştirme de önermeler mantığında geçersiz olduğu için, bu tür nicelemeli akıl yürütmelerin doğru biçimde değerlendirilmesinde sembolik önermeler mantığı yetersiz kalır. Bu çıkarımın geçerli olması içerisinde geçen “her” ifadesine ve “F bir G dir” biçiminde dayanmaktadır.
Niceleme Mantığının Sembolik Dili
Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:
Niceleme mantığının düzgün deyimleri iki gruba ayrılır: terimler ve formüller.
Birey değişkenleri ve ad sembolleri birer terimdir.
Formüller ise şu şekilde tanımlanabilir:
Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller “basit formül”, “atomik formül” ya da “atom”, bunun dışındaki formüller “bileşik formül” olarak adlandırılır. “∀” ve “∃” sembollerine niceleyici, bir niceleyici ve bir v değişkeninden oluşan “∀ ν” ve “∃ ν” ifadelerine ise “niceleme” diyeceğiz.
Ad sembollerinin işlevi, belirli varlıklara işaret etmektir. Yüklem sembolleri ise, varlıkların özelliklerini belirtir. Gündelik dildeki “siyahtır”, “öğrencidir” gibi yüklemlerin terimlerle birleşerek, “Ahmet öğrencidir”, “Kömür siyahtır” gibi önermeleri oluşturması gibi, yüklem sembolleri de sembolik terimlerle birleşerek formülleri oluştururlar.
Birey değişkenleri gündelik dildeki “bu”, “şu” gibi zamirlerin sembolik dildeki karşılığıdır. Aynen “bu” zamirinin hangi varlığa işaret ettiğinin kullanıldığı duruma göre değişmesi gibi, birey değişkenleri de, belirli bir varlığa işaret etmezler ancak bir birey değişkeni yerine belli bir varlığa işaret eden bir sembol konabilir. Bu anlamda birey değişkenlerini birer “yer tutucu” olarak kabul edebiliriz. Belirli bir varlık hakkında konuşmak istediğimizde, bu değişkenler yerlerini hakkında konuşmak istediğimiz varlığa ait ad sembolüne bırakırlar.
(3) Bu siyahtır.
Tümcesi tek başına doğru ya da yanlış bir yargı bildirmez. Bildirebilmesi için, “bu” sözcüğünün hangi varlığa işaret ettiğini bilmemiz gerekir. “F” yüklem değişkeninin “siyahtır” yüklemini belirttiğini kabul edelim. Bu durumda
(4) Fx
Formülü, x birey değişkeninin hangi varlığa işaret ettiği bilinmediğinden, doğru ya da yanlış bir yargı bildirmez. (4) formülünü bir önermeye dönüştürmenin iki yolu vardır. Birincisi, x değişkeninin yerine belirli varlığa işaret eden bir sembol, yani bir ad sembolü koymaktır. Örneğin, x değişkeninin yerine A ad sembolünü koyarak elde ettiğimiz FA formülü, A ad sembolünün Düldül’ü işaret ettiğini kabul edersek yanlış bir önerme olur (Bildiğiniz gibi, çizgi kahraman Red Kit’in atı olan Düldül beyazdır). İkinci yol ise, (8) formülünün başına ∀x ya da ∃x nicelemelerinden birini koymaktır. Bu şekilde elde ettiğimiz ∀x Fx formülü “Her şey siyahtır” anlamına gelir ve yanlıştır. ∃x Fx formülü ise “Bazı şeyler siyahtır” anlamına gelir ve doğrudur.
Bu söylediklerimizi, niceleme mantığının sembolik dilinin sentaktik özellikleri bakımından genel olarak açıklayabilmek için, niceleme mantığı için çözümleyici çizelge kurallarını tanımlarken de ihtiyaç duyacağımız, “bir nicelemenin etki alanı” kavramını ve buna bağlı olarak, “bağlı ve serbest değişken” kavramlarını tanımlayacağız.
Tanım: Bir nicelemenin bir formüldeki etki alanı, o nicelemeyi izleyen formüldür.
Tanım: Bir υ değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir ∀υ veya ∃υ nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, υ değişkeninin bu geçişi ne ∀υ ne de ∃υ nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, ∀υ ve ∃υ nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan υ değişken geçişleri bağlıdır.
Not: Tüm değişken geçişleri bir aynı değişkenle yapılan bir nicelemenin etki alanında olan formüller niceleme mantığının önermeleridir.
Tanım: Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül ise “açık formül” olarak adlandırılır.
Bir υ değişkeninin serbest geçişlerini içeren bir açık formülü kapalı bir formüle dönüştürmenin iki yolu vardır:
(a) Formülü ∃υ ya da ∀υ ile nicelemek
(b) υ değişkeninin serbest geçişleri yerine bir ad sembolü koymak
Bir formülde bir değişkenin hem serbest hem de bağlı geçişlerinin olması karışıklığa yol açabilir. Göreceğimiz gibi, bu durumdan kaçınabiliriz. Niceleme mantığında, aynı değişkenin hem serbest hem de bağlı geçişlerini içeren bir formülü, bu değişkenin sadece serbest geçişleri olan eşdeğer bir formül ile ifade edebiliriz. Bu nedenle, bundan sonra gerekmedikçe formüllerde bir değişkenin hem serbest hem de bağlı geçişlerinin olmamasına dikkat edeceğiz.
Not: Totolojilerden önerme değişkenleri yerine niceleme mantığının önermelerinin konmasıyla elde edilen niceleme mantığı önermeleri niceleme mantığında geçerli önermelerdir. Aynı durum içerme ve eşdeğerlik için de geçerlidir.
Ön-nicelemeli Normal Form
Niceleme mantığında her formül, başta bir dizi niceleyici ve ardından niceleyici geçmeyen bir “matris” ile oluşmuş bir formüle eşdeğerdir. Bu biçime formülün “ön-nicelemeli normal biçimi” adı verilir. Ön-nicelemeli biçimde bir önermenin genel biçimi, her bir Qi tümel veya tikel-niceleyici, her bir υi bir değişken ve P içinde hiçbir niceleyici geçmeyen bir formül olmak üzere aşağıdaki gibi olacaktır:
Not: İçinde hiçbir niceleyici geçmeyen formülde ön-nicelemeli normal biçimdedir; bir başka deyişle, içinde hiçbir niceleyici geçmeyen formülün ön-nicelemeli normal biçimi kendisine eşittir.
Ön-nicelemeli normal biçimdeki önermelerin mantık bakımından denetlenmesi daha kolay olduğundan, niceleme mantığında denetlemeden önce önermelerin bu forma dönüştürülmesi önemlidir.
Tanım: Niceleme mantığında, bir P formülünün ön nicelemeli normal biçimi aşağıdaki aşamalar takip edilerek oluşturulur:
(a) İkinci ünitede gördüğümüz eşdeğerlikler yardımıyla koşul ve karşılıklı koşul eklemleri elenerek, önerme — niceleyiciler dışında — sadece değilleme, tümel evetleme ve tikel-evetleme eklemlerini içeren bir biçime dönüştürülür.
(b) Ardından, aşağıdaki eşdeğerliklerden uygun olanları kullanarak, önermede tüm değilleme eklemleri sadece atomik formüllere uygulanacak hale getirilir. Bu aşamada aşağıdaki eşdeğerlikler kullanılacaktır:
(c) Gerekli bağlı değişkenler, formülde hiç geçmeyen değişkenlerle değiştirilir. Bu aşamada amaç, bir değişkenin hem bağlı hem de serbest geçmesini, ve aynı değişkenin birden çok nicelemede geçmesini engellemektir. Bunu yapmazsak, sonuçta elde edeceğimiz formül, başlangıçta bize verilen formüle eşdeğer olmaz.
(d) Tüm niceleyiciler önermedeki geçiş sıralarına göre başa geçirilir. Bu işlemin sonunda eşdeğer bir formül elde edeceğimize dayanak oluşturan eşdeğerlikler aşağıda verilmiştir.
Nicelenmiş Önermelerin Yorumlanması
Önermeler mantığındaki eklemlerin doğruluk tabloları niceleme mantığında da aynı haliyle geçerlidir ancak nicelemeli önermelerin doğruluk değerlerini basitçe bileşenlerine doğruluk değeri atayarak belirleyemeyiz; aksi taktirde niceleme mantığı önermeler mantığından daha güçlü bir mantık sistemi olmazdı.
Örneğin, (A →B) biçimindeki ∀x Fx → ∃x Gx önermesinin anlamının niceleme mantığı bakımından denetlenebilmesi için, ∀x Fx ve ∃x Gx önermelerinin doğruluk değerlerinin bir modelde nasıl belirleneceğinin ortaya konması gerekir.
Not: Varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğu kümedir.
Model Kavramı
Niceleme mantığında yorumlama modellerle gerçekleşir. Her model bir küme üzerinde oluşturulur. Modelin üzerinde kurulduğu küme, modelin “taşıyıcı kümesi” ya da “evreni” olarak adlandırılır.
Bir S kümesi üzerinde, bu kümeyi evren olarak kabul eden bir model oluşturabilmek için, yüklem ve ad sembollerini bu küme üzerinde yorumlamak gerekir.
Niceleme mantığının sembolik dilinde ad sembolleri gündelik dildeki özel adlar gibi işlev görür. Dolayısıyla, bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması demek o ad sembolünü kümenin bir elemanı ile eşleştirmek demektir.
Gündelik dilde bir yüklemin işlevi, kimi varlıkların sahip olduğu, kimi varlıkların ise sahip olmadığı bir özelliği dile getirmektir. Örneğin, “insandır” yüklemi kimi varlıklara doğru olarak uygulanır, kimi varlıklara ise uygulanamaz. bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması demek, o yüklem sembolünün kümedeki hangi elemanlara doğru olarak uygulanabileceğini, hangi varlıklara uygulanamayacağını belirtmek demektir. Bu ise, yüklem sembolünü kümenin bir altkümesi ile eşleştirmek demektir. Evrenin yüklem sembolünü eşleştirdiğimiz altkümesi, evrende bu yüklemin belirttiği özelliğe sahip olan nesnelerin kümesidir. Bu küme, “yüklemin kaplamı” olarak adlandırılır.
Tanım: S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kümesinde veya çıkarımda geçen her yüklem sembolü için S kümesinin bir altkümesi ve her ad sembolü için S kümesinin bir elemanından oluşan yapı, bu önermeyi, önerme kümesini veya çıkarımı denetleyebileceğimiz bir modeldir.
Modeller ve Nicelemeli Önermeler
Bir önermenin, dolayısıyla bir önermeler kümesinin veya çıkarımın, bir modelde denetlenebilmesi için, önermenin bu modelde ne ifade ettiğinin ortaya konması gerekir. Bunun ilk adımı önermedeki niceleyicilerin elenmesi ve böylece önermenin modelin taşıyıcı kümesindeki açılımının elde edilmesidir.
Nicelemeli Bir Önermenin Bir Evrende Açılımı
Bir A formülünden, v değişkeninin tüm serbest geçişleri yerine bir kümenin a elemanının konmasıyla elde edilen ifade, A(α/v) ile gösterilir. Bildiğiniz gibi, bir formülde aynı değişkenin hem serbest, hem de bağlı geçişleri olmadığını kabul ediyoruz. Buna göre, “v değişkeninin tüm serbest geçişleri yerine” ifadesi yerine, “v değişkeninin tüm geçişleri yerine” ifadesini kullanabiliriz.
Bizim karşılaşacağımız tüm durumlarda, α elemanının A formülünde geçen hangi değişken yerine konacağı belli olduğundan, A (α/v) yerine kısaca A(α) yazacağız.
Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki açılımını elde etmekteki temel fikir, hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “konuşma evreni” bu küme olduğunda, önermenin ifade ettiği yargıyı ortaya koymaktır. Belirttiğimiz gibi, bizim kullanacağımız tüm kümeler sonlu olacağından, önermenin açılımı da belli uzunlukta bir ifade olacaktır.
Örneğin, F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Her şey F dir” önermesini ele alalım: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Her şey F dir” demek, hem a, hem b, hem de c F dir demektir. “Her şey F dir” önermesi sembolik olarak ∀x Fx ile gösterildiğine göre, ∀x Fx nicelemeli önermesinin S = {a, b, c} kümesindeki açılımı Fa ∧ Fb ∧ Fc ifadesidir(Benzer şekilde “Bazı şeyler F dir” ifadesinin açılımı Fa ∨ Fb ∨ Fc dir).
Not: Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki doğrusal açılımını oluştururken, hangi nicelemenin önce elendiği sonucu değiştirmez.
Tanım: Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir “doğrusal açılımı” olarak adlandırılır.
Bir Yorumlamada Bir Önermenin Doğruluk Değerinin Hesaplanması
Bir nicelemeli önermenin, evreni SM olan bir M modelinde doğruluk değerinin hesaplanması, Y önermede geçen bir yüklem, s ∈SM olmak üzere Ys biçimindeki ifadelerin modeldeki doğruluk değerine dayanmaktadır.
Bir A önermesinin bir M modelindeki doğruluk değerini hesaplamak için
1. A önermesinin SM kümesindeki açılımını oluştururuz.
2. A önermesinin SM kümesindeki açılımında ad sembollerinin yerine bunların modeldeki karşılığı olan elemanları koyarız. Sonuçta elde ettiğimiz ifade A önermesinin M modelindeki ifadesidir.
3. Elde ettiğimiz ifade Y bir yüklem, s ∈SM olacak şekilde Ys biçimindeki ifadelerden ve önerme eklemlerinden oluştuğuna göre, bu önermenin doğruluk değerini önceki tanım ve önerme eklemlerinin doğruluk değerlerine göre hesaplarız. Bulduğumuz doğruluk değeri A önermesinin M modelindeki doğruluk değeridir.
Nicelemeli Önermeler İçin Model ve Karşı-Model Oluşturulması
Önermeler mantığında, bize verilen bir önermenin doğrulayıcı ya da yanlışlayıcı yorumlamalarını, doğruluk tabloları ve çözümleyici çizelge yöntemi ile nasıl oluşturabileceğimizi görmüştük. Bu kısımda, bize verilen bir nicelemeli önermenin doğrulayıcı ya da yanlışlayıcı yorumlamalarını nasıl oluşturabileceğimizi göreceğiz. Niceleme mantığında yaygın kullanıma uygun olarak, bir önermenin doğrulayıcı yorumlaması yerine bu önermenin bir “modeli”, yanlışlayıcı yorumlaması yerine “karşı-modeli” ifadelerini kullanacağız.
A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumlandığı ve A önermesinin doğru olduğu bir M modeli A önermesinin bir modelidir. Eğer A önermesinin bir modelini oluşturmak istiyorsak, oluşturacağımız M modelinin evreni olmak üzere bir S kümesi seçip, bu kümede A önermesinin açılımını oluşturduktan sonra, ad ve yüklem sembollerini, A önermesinin açılımını doğru yapacak şekilde yorumlamamız gerekir. Bildiğiniz gibi, yorumlamada ad sembollerine karşılık S kümesinin bir elemanını, yüklem sembollerine karşılık olarak da S kümesinin bir altkümesini seçmemiz gerekir.
Olabildiğince küçük bir model oluşturmak isteyeceğimiz için önce tek elemanı olan bir küme üzerinde bir model kurmaya çalışıp, olmuyorsa eleman sayısını gittikçe arttırmak iyi bir yoldur.
A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumlandığı ve A önermesinin yanlış olduğu bir M modeli A önermesinin bir karşı-modelidir. A önermesinin bir karşı-modelini oluşturmak için, oluşturacağımız M karşı-modelinin evreni olmak üzere bir S kümesi seçip bu kümede A önermesinin açılımını oluşturduktan sonra, ad ve yüklem sembollerini A önermesinin açılımını yanlış yapacak şekilde yorumlamamız gerekir. Model ararken olduğu gibi, bir elemanlı bir kümeyle başlayıp, gerektikçe eleman sayısını arttırmalıyız.
Tüm modellerde doğru olan bir nicelemeli önerme, niceleme mantığında “geçerli” bir önermedir. Bu kısımda anlattığımız yöntem, nicelemeli önermelerin geçerliliğini göstermek için de kullanılabilir: Eğer içinde n tane yüklem sembolü geçen bir önerme için, en çok 2n elemanlı bir kümede karşı-model oluşturulamazsa, bu önermenin karşı-modeli yoktur. Dolayısıyla, bu önerme niceleme mantığında geçerli bir önermedir. Kullanışlı olmadığından, bunu bir yöntem olarak geliştirmeyeceğiz. Niceleme mantığında geçerlilik denetlemesini sekizinci ünitede ele alacağımız çözümleyici çizelge yöntemiyle gerçekleştireceğiz.
Mesela, “Her x y’dir” türü bir önerme geçerli bir önermedir; tüm modellerinde doğrudur. Bu önermeyi yanlış kılacak olan şey
Modeller ve Nicelemeli Çıkarımlar
Önermeler mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için, çıkarımın doğruluk tablosunu yaparak, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir doğruluk değerlemesi bulmak yeterli idi. Niceleme mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir “karşı-model” oluşturarak gösterebiliriz. Bir çıkarımın bir karşı-modeli varsa, bu çıkarım niceleme mantığında geçersizdir. Çıkarımın karşı-modeli olmayan tüm modeller çıkarımın bir modeli kabul edilir. Yani, bir modelin çıkarımın bir modeli olması için, öncüllerden en az biri bu modelde yanlış olmalı veya tüm öncüller bu modelde doğru ise, sonucun da bu modelde doğru olması gerekir.
Çıkarımın geçersiz olduğunu gösteren bir karşı-model oluşturmaya çalışırken aşağıdaki adımları izleriz:
Sembolleştirme
Bir önceki ünitede “model” kavramını ele almış ve nicelemeli önermelerin modelde doğruluğuna-yanlışlığına nasıl karar verebileceğimizi görmüştük. Buna göre, en az bir modelde doğru olan bir nicelemeli önerme tutarlı, en az bir modelde yanlış olan bir önerme geçersiz, en az bir modelde doğru ve en az bir modelde yanlış olan (yani tutarlı ama geçersiz) bir önerme olumsal, tüm modellerde doğru olan bir önerme geçerlidir. Çıkarımlara gelince, en az bir modelde tüm öncülleri doğru ama sonuç önermesi yanlış olan bir çıkarım geçersiz, öncüllerinin tümünün doğru olduğu her modelde sonuç önermesi de doğru olan bir çıkarım ise geçerlidir.
Gündelik dildeki bir önerme veya çıkarımı niceleme mantığında denetlemek, bu önerme veya çıkarımın semantik statüsünü (geçerlilik, geçersizlik, tutarlılık, olumsallık durumunu) niceleme mantığı bakımından ortaya koymak demektir. Bu denetlemeyi doğru biçimde yapmamız, gündelik dildeki nicelemeli bir önermeyi niceleme mantığında doğru olarak sembolleştirmemize yani, bu gündelik dil önermesinin niceleme mantığının dilindeki doğru sembolik karşılığını bulmamıza bağlıdır.
Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir. F ve G, “insan”, “canlı” gibi, herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
- Her F G dir.
- Hiçbir F G değildir.
- Bazı F ler G dir.
- Bazı F ler G değildir.
“Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. “Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. “Her F G dir” önermesinin ∀x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirilmesi yanlış olurdu: ∀x (Fx ∧ Gx) önermesi bir modelde yorumlandığında, o modeldeki her nesnenin hem F hem G olduğunu ifade eder. Hakikaten, S = {a, b, c, …} ise, bu kümede ∀x (Fx ∧ Gx) önermesinin açılımı, (Fa ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Gb) ∧ (Fc ∧ Gc) ∧… olurdu. Ancak, “Her F G dir” önermesi, bu biçimde yorumlanamaz. Örneğin, “Her insan ölümlüdür” önermesini düşünelim: Bu önermeyi F yüklemini “insandır”, G yüklemini de “ölümlüdür” kabul ederek, ∀x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirsek, “Her şey, hem insandır hem de ölümlüdür” ile, “Her şey, eğer insan ise ölümlüdür” önermelerini aynı şekilde sembolleştirmiş olurduk. Oysa “Her insan ölümlüdür” doğru bir önerme iken, “Her şey hem insan hem de ölümlüdür” önermesi yanlıştır.
Benzer şekilde diğer kategorik önerme biçimlerinin de sembolik karşılıkları:
- Her F G dir: ∀x (Fx → Gx)
- Hiçbir F G değildir: ∀x (Fx → ~ Gx)
- Bazı F ler G dir: ∃x (Fx ∧ Gx)
- Bazı F ler G değildir: ∃x (Fx ∧ ~ Gx)
Bir gündelik dil önermesini, aşağıdaki adımları izleyerek sembolleştireceğiz:
1. adımda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel-niceleme ifadelerinin ve önerme eklemlerinin eş anlamlıları, standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek, noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilir. Önermeler mantığında olduğu gibi, bu işlem sonucunda elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerleştirilir.
3. adımda, “x bir insandır”, “Ahmet bir öğrencidir” gibi, X bir değişken veya ad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri yerine, “{a bir insandır}x” ve “{a bir öğrencidir}Ahmet” ifadeleri gibi, {Y}X ifadesi konur.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen yüklem sembolleri konur.
5. adımda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.
6. adımda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kaldırılabilir.
Dipnotlar:
1.Bir önermeler kümesinin doğrulayıcı yorumlaması, bu kümedeki tüm önermelerin aynı anda doğru olması durumudur. Yani, önermelerin kümesinin her bir önermesi, yorumlama bağlamında doğru olduğunda, küme doğrulayıcı bir yorumlamaya sahiptir.
Doğrulayıcı yorumlama, önermelerin doğru olma durumunu değerlendirmek için kullanılan bir kavramdır. Bir önerme, bir bağlamda doğru olarak yorumlandığında, bu bağlamda önermenin doğruluğu kabul edilir. Önermelerin kümesi, tüm önermelerin aynı anda doğru olduğu bir yorumlamaya sahipse, bu yorumlama doğrulayıcı olarak adlandırılır.
Örnek olarak, aşağıdaki önermeler kümesini ele alalım:
P: “Bugün güneşli.” Q: “Hava sıcak.” R: “Çimen yeşil.”
Eğer bu üç önerme aynı bağlamda, yani aynı gün ve yerde doğru olarak yorumlanırsa, bu durumda önermeler kümesi doğrulayıcı bir yorumlamaya sahiptir. Yani, “Bugün güneşli, hava sıcak ve çimen yeşil” ifadesi doğrulayıcı bir yorumlamadır çünkü her bir önerme aynı bağlamda doğru olarak kabul edilmektedir.
Doğrulayıcı yorumlama, mantıksal analizlerde ve çıkarımlarda kullanılan önemli bir kavramdır. Önermelerin doğrulayıcı bir yorumlamaya sahip olması, bu önermelerin mantıksal olarak uyumlu olduğunu ve birbirini desteklediğini gösterir.
2. Geçerli bir çıkarım, her bir öncül doğru olduğunda sonucun doğru olduğunu garanti eder. Dolayısıyla, çıkarımın doğruluğu, öncüllerin doğru olma durumuyla bağlantılıdır. Eğer bir çıkarım birden fazla doğrulayıcı yorumlamaya sahip olsaydı, bu demek olurdu ki, öncüllerin doğruluğu durumunda birden fazla doğru sonuç olabilir ve bu çelişkili bir durumu ifade eder.
Ancak, bir çıkarımın geçersiz olması durumunda birden fazla karşı örnek veya geçersizleştirici yorumlama bulunabilir. Geçersiz bir çıkarım, öncüller doğru olduğunda sonucun yanlış olduğu bir durumu ifade eder. Geçersiz bir çıkarımın birden fazla geçersizleştirici yorumlaması olabilir, yani öncüllerin doğru olduğu durumlarda farklı sonuçlar üretebilir. Bu, çıkarımın geçersiz olduğunu gösterir ve çıkarımın doğruluğunu zedeler.
3.”Kömür sarıdır. ∴ Kömür sarıdır.” çıkarımı, tautoloji olarak adlandırılan bir geçerli çıkarımdır. Bu çıkarım, mantıksal olarak doğru olan bir önermeyi ifade eder.
Çıkarımın geçerli olmasının nedeni, öncülün ve sonucun aynı ifadeyi içermesidir. İki ifade aynı olduğunda, öncül doğru olduğunda sonucun da doğru olduğu kabul edilir.
Bu çıkarımı daha ayrıntılı bir şekilde açıklayacak olursak: Öncül: “Kömür sarıdır.” Sonuç: “Kömür sarıdır.”
Öncülde ifade edilen “Kömür sarıdır” önermesi doğru olarak kabul edildiği sürece, sonuç olan “Kömür sarıdır” önermesi de doğru olur; öncülde ifade edilen “Kömür sarıdır” önermesi yanlışolarak kabul edildiği sürece, sonuç olan “Kömür sarıdır” önermesi de yanlış olur. İki önerme aynı olduğundan, öncülün doğru olması sonucun da doğru olmasını garantiler.
Bu çıkarım tautoloji olarak adlandırılır, çünkü önermelerin doğruluğu önermelerin kendisine dayanır. Tautoloji, mantıksal olarak her zaman doğru olan ifadeleri ifade eder.
- Görüleceği üzere mantık plan kurma yahut hayal etme gibi düşünme türlerini incelemez.
- “İnsan” sözcüğünün beş harfli olması bu sözcüğün sentatik bir özelliği ve “İnsanlık” sözcüğünün bir parçası olması ise bu iki sözcük arasında sentaktik bir ilişkidir.
- “İnsan” sözcüğünün “konuşan hayvan” anlamına gelmesi bu sözcüğün semantik bir özelliği ve “Beşer” sözcüğü ile eşanlamlı olması iki sözcük arasındaki semantik ilişkidir.
- Pragmatiğin en temel kavramı “bağlam” kavramıdır. Bağlam bir kelimenin anlamını belirleyen koşulların tümüdür. Dilsel bağlam, “bir deyimin anlamını belirlemeye katkısı olan, bu deyimi kapsayan daha geniş deyim” olarak tanımlanır(Grünberg, Onart, vd 2002). Fiziksel bağlam ise, ifadenin anlamının belirlenmesine katkısı olan yer, zaman, ifadeyi kullanan kişi gibi faktörlerden oluşur.
- Koşullu önerme ancak ön-bileşeni doğru, ard-bileşeni yanlış olduğunda yanlıştır. Bu anlamıyla “maddi gerektirme” olarak da adlandırılır. Buradan türeyen paradoksal tartışmalar vardır: 1) Koşul ekleminin doğruluk tablosu gereği, ard-bileşen doğru ise, ön bileşen yanlış da olsa doğru da olsa, koşul önermesi doğrudur; i) 2 = 2 ise Dünya yuvarlaktır, ii) 2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlaktır, koşul önermelerinin ikisi de doğrudur. 2) Ön-bileşen yanlış ise, ard-bileşen doğru da yanlış da olsa koşul önermesi doğrudur; i) 2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlaktır, ii) 2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlak değildir, koşul önermelerinin ikisi de doğrudur. Buna verilecek uygun yanıt, doğruluk tablosunun koşul ekleminin gündelik dildeki “ise” sözcüğünü tam karşılama amacı gütmediği, kısıtlanmış bir anlamı ifade ettiğini belirtmektir.
- mesela ii’deki A1
- mesela ii’deki A1, (B1 ↔ B2) şeklinde bir başka bileşense, ana bileşenin ana bileşenine örnek olarak B1 verilebilir
